Zadania maturalne z Matematyki

Tematyka: ciągli liczbowe: arytmetyczne i geometryczne.

Zadania pochodzą z oficjalnych arkuszy maturalnych CKE, które służyły przeprowadzaniu majowych egzaminów. Czteroznakowy kod zapisany przy każdym zadaniu wskazuje na jego pochodzenie: S/N – „stara”/”nowa” formuła; P/R – poziom podstawowy/rozszerzony; np. 08 – rok 2008.

.

Zadanie 1. (NP15)
W rosnącym ciągu geometrycznym (an), określonym dla n≥1, spełniony jest warunek a4=3a1. Iloraz q tego ciągu jest równy:

Zadanie 2. (NP16)
W nieskończonym ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n≥1, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy a1,a3,ak ciągu (an), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny (bn). Oblicz k.

Zadanie 3. (NP16)
Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 8, a różnica tego ciągu jest równa  .Siódmy wyraz tego ciągu jest równy:

Zadanie 4. (NP16)
Ciąg (x,2x+3,4x+3) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:

Zadanie 5. (NP16)
Ciąg (an) jest określony wzorem an=2n2+2n dla n≥1. Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.

Zadanie 6. (NP17)
W ciągu arytmetycznym an, określonym dla n≥1, dane są: a1=5, a2=11. Wtedy:

Zadanie 7. (NP17)
Dany jest trójwyrazowy ciąg geometryczny (24,6,a−1). Stąd wynika, że:

Zadanie 8. (NP17)
W ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n≥1, dane są: wyraz a1=8 i suma trzech początkowych wyrazów tego ciągu S3=33. Oblicz różnicę: a16−a13.

Zadanie 9. (NP18)
Dany jest ciąg (an) określony wzorem an=    dla n≥1. Ciąg ten jest:

Zadanie 10. (NP18)
Dla ciągu arytmetycznego (an), określonego dla n≥1, jest spełniony warunek a4+a5+a6=12. Wtedy:

Zadanie 11. (NP18)
Dany jest ciąg geometryczny (an), określony dla n≥1, w którym a1=, a2=2, a3=4, Wzór na n-ty wyraz tego ciągu ma postać:

Zadanie 12. (NP18)
Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego (an), określonego dla n≥1, jest równy 30, a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa 162. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Zadanie 13. (SP15)
W ciągu arytmetycznym (an) określonym dla n≥1 dane są a1=−4 i r=2. Którym wyrazem tego ciągu jest liczba 156?

 Zadanie 14. (SP15)
Dany jest skończony ciąg, w którym pierwszy wyraz jest równy 444, a ostatni jest równy 653. Każdy wyraz tego ciągu, począwszy od drugiego, jest o 11 większy od wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu.

Zadanie 15. (SP16)
Ciąg (an) jest określony wzorem an=2n2+2n dla n≥1. Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.

Zadanie 16. (SP16)
W skończonym ciągu arytmetycznym (an) pierwszy wyraz a1 jest równy 7 oraz ostatni wyraz an jest równy 89. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 2016. Oblicz, ile wyrazów ma ten ciąg.

Zadanie 17. (SP14)
Liczby 2,−1,−4 są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego (an) określonego dla liczb naturalnych n≥1. Wzór ogólny tego ciągu ma postać:

Zadanie 18. (SP14)
Liczby: x−2, 6, 12, w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba x jest równa:

Zadanie 19. (SP13)
Ciąg (27,18,x+5) jest geometryczny. Wtedy:

 Zadanie 20. (SP13)
Ciąg (an) określony dla n≥1 jest arytmetyczny oraz a3=10 i a4=14. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:

Zadanie 21. (SP12)
Dany jest ciąg (an) określony wzorem an=(−1)   ⋅   dla n≥1. Wówczas wyraz a5 tego ciągu jest równy:

Zadanie 22. (SP12)
Ciąg (9,x,19) jest arytmetyczny, a ciąg (x,42,y,z) jest geometryczny. Oblicz x, y oraz z.

 

Zadanie 23. (SP11)
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (an), w którym a3=1 i a4=. Wtedy:

Zadanie 24. (SP11)
Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny (an) o wyrazach dodatnich. Wtedy:

Zadanie 25. (SP11)
Liczby x,y,19 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym x+y=8. Oblicz x i y.

Zadanie 26. (SP10)
W ciągu arytmetycznym (an) dane są: a3=13 i a5=39. Wtedy wyraz a1 jest równy:

Zadanie 27. (SP10)
W ciągu geometrycznym (an) dane są: a1=3 i a4=24. Iloraz tego ciągu jest równy:

Zadanie 28. (SP09)
Dany jest ciąg arytmetyczny (an) dla n ≥ 1, w którym a7 =1, a11 = 9.

a) Oblicz pierwszy wyraz a1 i różnicę r ciągu (an).
b) Sprawdź, czy ciąg (a7,a8,a11) jest geometryczny.
c) Wyznacz takie n, aby suma n początkowych wyrazów ciągu (an) miała wartość najmniejszą.

Zadanie 29. (SP08)
Nieskończony ciąg liczbowy (an)  jest określony wzorem  an = 2 −   , dla n = 1,2,3,… .

a) Oblicz, ile wyrazów ciągu (an) jest mniejszych od 1,975.
b) Dla pewnej liczby x trzywyrazowy ciąg (a2 ,a7 ,x ) jest arytmetyczny. Oblicz x .

Zadanie 30. (SP07)
Dany jest ciąg arytmetyczny (an) , gdzie n ≥ 1 . Wiadomo, że dla każdego n ≥ 1  suma n  początkowych wyrazów Sn = a1 + a2 + ⋅⋅⋅+ an  wyraża się wzorem: Sn= −n2 + 13n.

a) Wyznacz wzór na n –ty wyraz ciągu an .
b) Oblicz a2007 .
c) Wyznacz liczbę n , dla której an = 0 .

Zadanie 31. (SP07)
Dany jest rosnący ciąg geometryczny (an)  dla n ≥ 1 , w którym a1 = x , a2 = 14 , a3 = y . Oblicz x  oraz y , jeżeli wiadomo, że x + y = 35.

Zadanie 32. (SP06)
Dany jest ciąg geometryczny, w którym a1 = 12  i a3 = 27 .

a) Wyznacz iloraz tego ciągu.
b) Zapisz wzór, na podstawie którego można obliczyć wyraz an, dla każdej liczby naturalnej n
c) Oblicz wyraz a6 .

 Zadanie 33. (SP05)
Dany jest ciąg (an) , gdzie  dla n= 1,2,3… Wyznacz wszystkie wyrazy tego ciągu większe od .

Zadanie 34. (SP05)
Na trzech półkach ustawiono 76 płyt kompaktowych. Okazało się, że liczby płyt na półkach górnej, środkowej i dolnej tworzą rosnący ciąg geometryczny. Na środkowej półce stoją 24 płyty. Oblicz, ile płyt stoi na półce górnej, a ile płyt stoi na półce dolnej.

Zadanie 35. (SP05)
Rodzeństwo w wieku 8 i 10 lat otrzymało razem w spadku 84100 zł. Kwotę tę złożono w banku, który stosuje kapitalizację roczną przy rocznej stopie procentowej 5%. Każde z dzieci otrzyma swoją część spadku z chwilą osiągnięcia wieku 21 lat. Życzeniem spadkodawcy było takie podzielenie kwoty spadku, aby w przyszłości obie wypłacone części spadku zaokrąglone do 1 zł były równe. Jak należy podzielić kwotę 84100 zł między rodzeństwo? Zapisz wszystkie wykonywane obliczenia.