Ciąg geometryczny

Ciąg geometryczny: jest to ciąg liczbowy w którym każdy kolejny wyraz oprócz wyrazu pierwszego, powstaje poprzez pomnożenie wyrazu go poprzedzającego przez pewną liczbę zwaną ilorazem ciągu geometrycznego. Podobnie jak w przypadku ciągu arytmetycznego, ciąg geometryczny może być skończony (musi mieć co najmniej trzy wyrazy) lub nieskończony. Iloraz ciągu geometrycznego obliczamy przez podzielenie (począwszy od wyrazu drugiego) dowolnego wyrazu przez wyraz go poprzedzający.

Przykład: Ciąg liczbowy (a_n) możemy nazwać geometrycznym, jeżeli istnieje stała (q) zwana ilorazem ciągu, dla której prawdziwe jest równanie:

$a_n=q\cdot a_{n-1}$ , dla każdego n>1

Przykład:

Dany jest ciąg geometryczny: 2,4,8,16,32…

Wzory na wielkości opisujące ciąg geometryczny

Jeżeli a_n≠ 0, to:

Jeżeli q ≠ 1, to:

Wzór na sumę S_n początkowych , kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego jest następujący: $S=a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}$

>> Chcesz dobrze zdać maturę z matematyki? Zobacz ebook Matematyka część 2.

Jeżeli |q| < 1, to:

Wzór na sumę S wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego jest następujący: $S=a_1\cdot \frac{1}{1-q}$

Każdy wyraz ciągu geometrycznego (a_n) z wyjątkiem wyrazu pierwszego spełnia następujący warunek: $a^2_n=a_{n-1}+a_{n+1}$
Wyrazy ciągu geometrycznego są iloczynami wyrazu pierwszego i potęgi ilorazu ciągu q, przy założeniu, że wykładnik do którego podniesiono q jest o jeden mniejszy od wskaźnika porządkowego wyrazu $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$
Gdy a₁≠ 0, q=0, to ciąg geometryczny jest stały od wyrazu drugiego i ma postać: a₁, 0, 0,…
Ciąg geometryczny jest rosnący:

– dla a₁> 0, gdy q >1

– dla a₁ < 0, gdy 0<q<1

– dla a₁> 0, gdy <0<q<1

– dla a₁ < 0, gdy q > 1

– dla a₁> 0, gdy q=1

– dla a₁ < 0, gdy q=1

Ciąg geometryczny nie jest monotoniczny gdy iloraz ciągu q < 0, wówczas ciąg jest naprzemienny i ma postać: a₁, -a₂, a₃, -a₄,…
Jeżeli iloraz ciągu geometrycznego nie jest liczbą stałą to wtedy nie mówimy o ciągu geometrycznym.