Ciąg arytmetyczny

  1. Informacje podstawowe: Określenie ciągu liczbowego w którym każdy kolejny wyraz jest definiowany jako suma wyrazu występującego bezpośrednio przed nim oraz pewnej liczby zwanej różnicą ciągu arytmetycznego. Wyrazy ciągu arytmetycznego należą do zbioru liczb rzeczywistych. Możemy wyróżnić ciąg arytmetyczny nieskończony, oraz skończony, przy czym skończony musi posiadać co najmniej trzy wyrazy. Różnica
    w ciągu arytmetycznym jest stała.
  1. Przykład ciągu: Ciąg liczb możemy nazwać arytmetycznym (an) jeżeli dla pewnej liczby (r) zwanej różnicą ciągu zachodzi:

an+1=an+r

Przykład:

Dany jest ciąg arytmetyczny: 2,6,10,14,18,22…

  • Pierwszy wyraz ciągu a1=2
  • Drugi wyraz ciągu a2=6
  • Różnica ciągu r=4

Wzory na wielkości opisujące ciąg arytmetyczny

  • Wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego: a_n=a_1+(n-1)\cdot r
  • Wzór na różnicę ciągu arytmetycznego: r=a_{n+1}-a_n

Sumą Sn początkowych n wyrazów ciągu arytmetycznego nazywamy średnią arytmetyczną wyrazów pierwszego i n- tego, pomnożoną przez liczbę wyrazów n.

>> Chcesz dobrze zdać maturę z matematyki? Zobacz ebook  Matematyka część 2.

  • Wzór na sumę n pierwszych wyrazów ciągu: S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n

Własności ciągu arytmetycznego

  • Ciąg arytmetyczny liczb rzeczywistych jest monotoniczny i nazywany:

– ciągiem rosnącym, gdy różnica ciągu r>0

– ciągiem malejącym, gdy różnica ciągu r<0

– ciągiem stałym, gdy różnica ciągu r=0

  • Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy środkowa liczba jest średnią arytmetyczną dwóch skrajnych, opisuje to następujący wzór: a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}
  • Do wyznaczenia pierwszego wyrazu oraz różnicy ciągu arytmetycznego wystarczy znać dwa wyrazy tego ciągu.