Figury podobne i przystające

Figury podobne to wszystkie figury, które posiadają taką samą ilość boków proporcjonalnych do siebie, a kąty pomiędzy tymi bokami mają taką samą wartość. Figury podobne oznacza się najczęściej za pomocą liter np.: A i A’.

Przykładowy rysunek figur podobnych:

Wielokąt A jest podobny do wielokąta A’ (zapis: A~A’)

\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}=\frac{d}{d'}

Figury podobne mogą mieć różną wielkość, ale zawsze mają ten sam kształt. To ile razy dany wielokąt został zmniejszony lub zwiększony względem drugiego wielokąta, określa się za pomocą skali podobieństwa.

Wielokąt A jest podobny do wielokąta A’ w skali

k=\frac{a}{a'}

Wielokąt A’ jest podobny do wielokąta A w skali

k=\frac{a'}{a}

>> Chcesz dobrze zdać maturę z matematyki? Zobacz ebook  Matematyka część 3.

Niektóre z figur takich jak:

  • koła i okręgi,
  • kwadraty,
  • wielokąty foremne,
  • odcinki,

są zawsze podobne.

Cechy podobieństwa trójkątów

W odróżnieniu od wymienionych powyżej figur, trójkąty nie są zawsze podobne. Podobieństwo trójkątów można określi na podstawie tego, czy spełniają one jedną z trzech cech podobieństw trójkątów.

Cecha bok-bok-bok- jeśli boki jednego z trójkątów są proporcjonalne do odpowiednich boków drugiego trójkąta, figury te są podobne.

Δ ABC~ Δ A’B’C’, kiedy

\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}

Trójkąty Δ ABC ~ Δ A’B’C’ w skali

k=\frac{a}{a'}

Trójkąty Δ A’B’C’~ Δ ABC w skali

k=\frac{a'}{a}

Cecha kąt-kąt- jeśli miara dwóch kątów jednego z trójkątów jest równa miarom odpowiednich dwóch kątów drugiego z trójkątów, figury te są podobne.

Δ ABC~ Δ A’B’C’, kiedy α = α’ i β = β’

Cecha bok-kąt-bok- jeśli dwa boki jednego z trójkątów są proporcjonalne do dwóch boków drugiego trójkąta, a kąt zawarty między tymi bokami są takie same, to figury są podobne.

Δ ABC~ Δ A’B’C’, kiedy

\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}

i α = α’

Trójkąty Δ ABC ~ Δ A’B’C’ w skali

k=\frac{a}{a'}

Trójkąty Δ A’B’C’~ Δ ABC w skali

s=\frac{a}{a'}

Jeśli natomiast trójkąty są podobne to wysokości, środkowe, odcinki dwusiecznych oraz promienie kół wpisanych i opisanych na jednym z trójkątów są proporcjonalne do odpowiednich odcinków drugiej figury w tej samej skali.

Figury podobne posiadają stosunek pól równy kwadratowi skali ich podobieństwa.

Figury przystające

Figury przystające to wszystkie figury, które mają identyczną liczbę boków, o takiej samej długości, a kąty zawarte pomiędzy tymi bokami mają identyczne wartości. Figury przystające mogą być swoim odbiciem lustrzanym lub można je na siebie nałożyć za pomocą symetrii i nieskończonej liczby obrotów i przesunięć względem siebie. Figury przystające mają takie samo pole powierzchni.

Przykładowy rysunek figur przystających:

ABCD = A’B’C’D’, kiedy a=a’, b=b’, c=c’, d=d’

Cechy przystawania trójkątów

Trójkąty są przystające, jeśli istnieje izometria, która przekształca jeden z nich w drugi. To czy trójkąt jest przystający do drugiego trójkąta, można określi na podstawie spełniania przez nie warunków jednej z trzech cech.

– Cecha bok-bok-bok- jeśli trzy boki jednego trójkąta są odpowiednio równe trzem bokom drugiego trójkąta, to te trójkąty są przystające.

Δ ABC = Δ A’B’C’, jeśli: a=a’ i b=b’ i c=c’

– Cecha bok-kąt-bok- jeśli dwa dowolnie wybrane boki trójkąta i kąt zawarty między tymi bokami, są takie same jak dwa boki odpowiadające boki i kąt zawarty między innymi w drugim trójkącie, to te trójkąty są przystające.

Δ ABC = Δ A’B’C’, jeśli: a=a’ i b=b’ i α = α’

– Cecha kąt-bok-kąt- jeśli bok i dwa przyległe do niego kąty w trójkącie, są odpowiednio równe bokowi i dwóm katom w drugim trójkącie, to te trójkąty są przystające.

Δ ABC = Δ A’B’C’, jeśli: α = α’ i β=β’ i a=a’