Czym jest koło i okrąg?

Okrąg – jest to zbiór wszystkich punktów na płaszczyźnie euklidesowej, których odległość od ustalonego punktu, będącego środkiem okręgu S jest taka sama i jest równa długości promienia okręgu r.
Koło – jest to zbiór wszystkich punktów na płaszczyźnie euklidesowej, których odległość od ustalonego punktu, będącego środkiem okręgu S, jest nie większa niż długość promienia koła r.

Podstawowe definicje – promień, cięnciwa, średnica

Promień- definiowany jako odcinek, który łączy środek okręgu S z dowolnym punktem na okręgu.

Cięciwa |AB| – odcinek przecinający okrąg lub koło w dowolnym miejscu. Ma dwa punkty wspólne z tarczą okręgu.

Średnica R – cięciwa przechodząca przez środek koła. Jej długość wynosi dwukrotność promienia koła.

>> Chcesz dobrze zdać maturę z matematyki? Zobacz ebook  Matematyka część 3.


Własności koła i okręgu

  • W okręgu wyróżniamy:
    • kąt środkowy, czyli kąt, którego wierzchołek leży w środku okręgu, a ramionami są promienie,
    • kąt wpisany – wierzchołek leży na okręgu, a ramionami są cięciwy;
  • W okrąg można wpisać każdy rodzaj trójkąta;
  • W okrąg można wpisać każdy wielokąt foremny, na każdym wielokącie foremnym można również okrąg opisać;
  • Środek okręgu nie należy do okręgu.


Wzory na wymiary koła i okręgu

1. Długość okręgu

Długość okręgu jest obliczana następującym wzorem:

d=2πr

gdzie r – promień okręgu,

zaś π, to wartość stała wynosząca w przybliżeniu 3,14


2. Obwód koła

Obwód koła liczony jest ze wzoru na długość okręgu:

d=2πr

gdzie r – promień okręgu,

zaś π, to wartość stała wynosząca w przybliżeniu 3,14


3. Pole wycinka koła

Wycinkiem koła jest pole ograniczone okręgiem (łukiem) i ramionami kąta środkowego.

S= \frac{1}{2}a\cdot r^{2}

α- miara łukowa wycinka koła,

r- promień okręgu;

Analogiczny wzór dla miary stopniowej:

S=2πr \cdot \frac{a}{360^{\circ}}

4. Pole koła

Pole koła liczone jest według wzoru:

P=πr2, gdzie

r- promień koła

π – stała, równa 3,14


5. Kąty w okręgu

Miara kąta środkowego jest dwa razy większa od miary kąta wpisanego, opartego na tym samym łuku.

6. Liczba π

Liczba π jest definiowana jako stosunek obwodu koła do środka jego średnicy. Jest to stała. Wynosi w przybliżeniu 3,14.


7. Styczne i sieczne

Styczną jest prostą, która posiada z okręgiem jeden punkt wspólny, zwany punktem styczności. Jest prostopadła do promienia, który łączy punkt styczności ze środkiem okręgu.

Sieczna to prosta, posiadająca dwa punkty wspólne z okręgiem.


8. Wzajemne położenie prostej i okręgu

Położenie prostej i okręgu jest zależne od odległości środka okręgu od prostej. Odległość ta może być

  1. Mniejsza od promienia – prosta jest wówczas sieczną okręgu;

r>d

  1. Równa promieniowi – prosta jest styczną do okręgu;

r=d

  1. Większa od promienia – prosta nie ma żadnych punktów wspólnych z okręgiem.

r<d