Funkcje liniowe

Funkcję f nazywamy liniową, gdy określona jest następującym wzorem f(x)=ax+b. Wykresem funkcji liniowej jest linia prosta. Wyznaczenie punktów i narysowanie wykresu sprowadza się jedynie do wybrania ze zbioru liczb rzeczywistych dowolnej liczby ( najlepiej 1 lub 0) będącej jednocześnie pierwszą współrzędną punktu i podstawieniu do wzoru w miejsce x, wyznaczając druga współrzędną punktu. Do narysowania wykresu linii prostej należy wyznaczyć minimum dwa punkty.

Funkcja liniowa może być zapisana w postaci kierunkowej lub ogólnej. Istnieje jeszcze postać odcinkowa, ale nie jest popularna i rzadko stosowana.

Postać kierunkowa funkcji liniowej jest opisana następującym wzorem:

y=ax+b

Z kolei postać ogólną funkcji liniowej opisuje następujący wzór:

Ax+Bx+C=0

Natomiast postać odcinkową opisuje następujący wzór:

\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1

Przejście z jednej postaci na drugą polega jedynie na przekształceniach funkcji.

Dziedziną funkcji liniowej jest zbiór liczb rzeczywistych. Oznacza to, że za x możemy podstawić dowolną liczbę. Zbiorem wartości funkcji liniowej z wyjątkiem funkcji stałej również zbiór liczb rzeczywistych. Natomiast w przypadku funkcji stałej, wartość zbioru wartości określona jest przez wzór funkcji liniowej.

>> Chcesz dobrze zdać maturę z matematyki? Zobacz ebook  Matematyka część 2.

W skład funkcji liniowej w postaci kierunkowej wchodzi współczynnik a i b, pierwszy z nich nazywamy współczynnikiem kierunkowym natomiast drugi, wyrazem wolnym. Współczynnik kierunkowy odpowiada za monotoniczność funkcji oraz kąt nachylenia wykresu funkcji liniowej do osi X, można go obliczyć z następującego wzoru:

a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

Gdzie (x1, y1) i (x2, y2) określają współrzędne dwóch punktów należących do wykresu funkcji liniowej.

Współczynnik b decyduje o punkcie przecięcia się wykresu prostej z osią Y.

Własności funkcji liniowej

– Miejsce zerowe funkcji jest to miejsce przecięcia się funkcji liniowej z osią X. Funkcja liniowa może mieć:

  • Jedno miejsce zerowe, gdy przecina się z osią X
  • Nieskończenie wiele miejsc zerowych, gdy opisuje ją równanie y=0
  • Żadnego miejsca zerowego, gdy jest stała y≠ 0

Pierwszym sposobem na wyznaczenie miejsca zerowego funkcji liniowej jest podstawienie za y zera i obliczenie prostego równania z jedną niewiadomą x, to właśnie ten x jest miejscem zerowym funkcji.

Drugi sposób opiera się na zastosowaniu wzoru, wykorzystującego współczynniki występujące w postaci kierunkowej i ma następującą postać:

x=-\frac{a}{b}

Przykłady.

– Sprawdzenie czy dany punkt należy do wykresu funkcji liniowej. Należy podstawić jego współrzędne do wzoru funkcji i wykonać obliczenia. Jeżeli lewa strona równa jest prawej stronie równania to dany punkt należy do wykresu funkcji.

Przykład.

– Punkty przecięcia z osiami:

  • Aby wyznaczyć punkt przecięcia z osią Y, należy za x podstawić 0 i obliczyć y
  • Aby wyznaczyć punkt przecięcia z osią X (miejsce zerowe), należy za y podstawić 0 i obliczyć x.

– Prosta równoległa i prostopadła

  • Dane proste są do siebie równoległe, jeżeli posiadają taki sam współczynnik kierunkowy a, funkcji liniowej y=ax +b
  • Dane proste są do siebie prostopadłe, jeżeli współczynnik kierunkowy jednej z nich wynosi a, natomiast drugiej -\frac{1}{a}

– Monotoniczność funkcji liniowej określa czy dana funkcja jest rosnąca, malejąca lub stała. Można ją określić z wykresu funkcji liniowej, czytając wykres od lewej do prawej, lub za pomocą współczynnika kierunkowego funkcji zapisanej w postaci kierunkowej:

  • Jeżeli a >0 to funkcja jest malejąca,
  • Jeżeli a <0 to funkcja jest rosnąca
  • Jeżeli a =0 to funkcja jest stała.

Monotoniczność funkcji daje się stwierdzić po wyglądzie wizualnym jej wykresu (patrz przykłady poniżej).

Przykład. Wykres funkcji rosnącej

Przykład. Wykres funkcji malejącej

Przykład. Wykres funkcji stałej